Avaliação em Massa

Fatores

Luiz Droubi

Academia da Engenharia de Avaliações

28 de julho de 2025

Exemplo 1

library(readxl)
dados <- read_excel("./data/Zeni_2024_p64.xlsx")

Modelo

fit <- lm(log(PU) ~ log(A) + log(D), data = dados)
S(fit)
Call: lm(formula = log(PU) ~ log(A) + log(D), data = dados)

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 10.95401    0.34272   31.96  < 2e-16 ***
log(A)      -0.36349    0.02901  -12.53 2.50e-10 ***
log(D)      -0.40761    0.03164  -12.88 1.59e-10 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard deviation: 0.07774 on 18 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9468
F-statistic: 160.2 on 2 and 18 DF,  p-value: 3.413e-12 
   AIC    BIC 
-42.92 -38.75

Resíduos Parciais

crPlots(fit)

Novo Modelo

Call: lm(formula = log(PU) ~ log(A) + D, data = dados)

Coefficients:
               Estimate  Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  8.54331250  0.18625876   45.87  < 2e-16 ***
log(A)      -0.34773547  0.02029311  -17.14 1.36e-12 ***
D           -0.00049622  0.00002621  -18.93 2.48e-13 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard deviation: 0.05436 on 18 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.974
F-statistic:   337 on 2 and 18 DF,  p-value: 5.453e-15 
   AIC    BIC 
-57.95 -53.77

Centralização de Dados

  • Uma opção para melhorar a interpretação dos modelos é a centralização de dados em relação a um imóvel paradigma
median(dados$A)
[1] 11000
median(dados$D)
[1] 980

Modelo Centralizado

fitCenter <- lm(log(PU) ~ log(A/11000) + I(D-980), data = dados)
S(fitCenter)
Call: lm(formula = log(PU) ~ log(A/11000) + I(D - 980), data = dados)

Coefficients:
                Estimate  Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   4.82110852  0.01259858  382.67  < 2e-16 ***
log(A/11000) -0.34773547  0.02029311  -17.14 1.36e-12 ***
I(D - 980)   -0.00049622  0.00002621  -18.93 2.48e-13 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard deviation: 0.05436 on 18 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.974
F-statistic:   337 on 2 and 18 DF,  p-value: 5.453e-15 
   AIC    BIC 
-57.95 -53.77
  • \(\overline{PU}_{Hom} = \exp(\hat\beta_0) = \exp(4,82) \approx 127,0 \text{ R\$/m^2}\)

Dedução de Fatores

  • \(\widehat{\ln(PU)} = 4,82 -0,348 \ln(A/11.000) - 0,0005 (D - 980)\)
  • \(\widehat{PU} = \exp[4,82 - 0,348\ln(A/11.000) - 0,0005 (D - 980)]\)
  • \(\exp(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) = \exp(x_1)\cdot \exp(x_2) \cdot \ldots \cdot \exp(x_n)\)
    • \(\widehat{PU} = \exp[4,82)\cdot\exp[- 0,348\ln(A/11.000)]\cdot \exp[- 0,0005 (D - 980)]\)
  • \(\exp(k\cdot x) = \exp(x)^k = \exp(k)^x\)
    • \(\widehat{PU} = 128\cdot(A/11.000)^{-0,348}\cdot \exp(-0,0005)^{(D - 980)}\)
    • \(\widehat{PU} = 128\cdot(A/11.000)^{-0,348}\cdot 0,9995^{(D - 980)}\)
    • \(\widehat{PU} = 128\cdot F_S^\cdot F_D\)
      • \(F_S = (A/11.000)^{-0,348}\)
      • \(F_D = 0,9995^{(D - 980)}\)
  • Ver no Excel

Exemplo 2

Modelo Final

fit11 <- lm(log(PU) ~ log(Lot) + log(SqFeet) + log1p(Age) + Quality + Pool +
         Style + Baths, 
         data = homePrices, subset = -c(11, 24, 86, 104, 202, 513))
S(fit11)
Call: lm(formula = log(PU) ~ log(Lot) + log(SqFeet) + log1p(Age) + Quality +
         Pool + Style + Baths, data = homePrices, subset = -c(11, 24, 86, 104, 202,
         513))

Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)      5.433029   0.373261  14.556  < 2e-16 ***
log(Lot)        -0.873500   0.018130 -48.180  < 2e-16 ***
log(SqFeet)      0.816476   0.047664  17.130  < 2e-16 ***
log1p(Age)      -0.121883   0.012511  -9.742  < 2e-16 ***
QualitySegunda  -0.233921   0.027732  -8.435 3.48e-16 ***
QualityTerceira -0.288248   0.038072  -7.571 1.77e-13 ***
Pool             0.115856   0.028669   4.041 6.15e-05 ***
Style           -0.016376   0.003633  -4.507 8.17e-06 ***
Baths            0.049265   0.011408   4.318 1.89e-05 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard deviation: 0.1568 on 506 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9015
F-statistic: 579.1 on 8 and 506 DF,  p-value: < 2.2e-16 
    AIC     BIC 
-436.04 -393.60

Equação de Estimação

Equação de Estimação

  • A equação de regressão para o modelo final adotado é:
    • \[\begin{aligned} \ln(PU) = 5,43 - 0,87\ln(Lot) + 0,82\ln(SqFeet) - \\ 0,12\ln(1 + Age) - 0,23\cdot\text{Quality2ª} - 0,29\cdot\text{Quality3ª} + \\ 0,12\cdot\text{Pool}-0,016\cdot Style + 0,05\cdot Baths \end{aligned} \]
  • Exponenciando ambos os lados, chegamos à equação de estimação:

    • \[\begin{aligned} PU = \exp[5,43 - 0,87\ln(Lot) + 0,82\ln(SqFeet) - \\ 0,12\ln(1 + Age) - 0,23\cdot\text{Quality2ª} - 0,29\cdot\text{Quality3ª} + \\ 0,12\cdot\text{Pool}-0,016\cdot Style + 0,05\cdot Baths] \end{aligned} \]

    • \[ \begin{aligned} PU = \exp(5,43)\cdot\exp(-0,87\ln(Lot))\cdot\exp(0,82\ln(SqFeet)) \\ \exp(-0,12\ln(1 + Age))\cdot \exp(- 0,23\cdot\text{Quality2ª}) \cdot \\ \exp(- 0,29\cdot\text{Quality3ª}) \cdot \exp(0,12\cdot\text{Pool}) \\ \cdot\exp(-0,016\cdot Style) \cdot\exp(0,05\cdot Baths) \end{aligned} \]

Equação de Estimação

  • Pode-se melhorar a apresentação da equação de estimação através da simplificação dos termos

  • Lembrando que \(\exp(k\cdot x) = \exp(x)^k\), então:

    • \(\exp[-0,87\cdot \ln(Lot)] = \exp[\ln(Lot)]^{-0,87} = Lot^{-0,87}\)
    • \(\exp[0,82\cdot \ln(SqFeet)] = \exp[\ln(SqFeet)]^{0,82} = SqFeet^{0,82}\)
    • \(\exp[-0,12\cdot \ln(1 + Age)] = \exp[\ln(1 + Age)]^{-0,12} = (1+Age)^{-0,12}\)

  • Outra opção é: \(\exp(k\cdot x) = \exp(k)^x\). Então:

    • \(\exp(-0,23\cdot\text{Quality2ª}) = 0,79^{\text{Quality2ª}}\)
    • \(\exp(-0,29\cdot\text{Quality3ª}) = 0,75^{\text{Quality3ª}}\)
    • \(\exp(0,12\cdot\text{Pool}) = 1,13^{\text{Pool}}\)
    • \(\exp(-0,016\cdot Style) = 0,985^{Style}\)
    • \(\exp(0,05\cdot Baths) = 1,05^{Baths}\)

Equação de Estimação

  • \[ \begin{aligned} PU = 228,15\cdot Lot^{-0,87}\cdot\ SqFeet^{0,82}\cdot (1 + Age)^{-.12} \cdot 0,79^{\text{Quality2ª}} \cdot\\ 0,75^{\text{Quality3ª}} \cdot 1,13^{\text{Pool}} \cdot 0,985^{Style} \cdot 1,05^{Baths} \end{aligned} \]

  • Interpretação:

    • Cada Banheiro aumenta PU em 5%
    • A var. estilo da residência diminui 1,5% a cada subida nível
    • Uma piscina aumenta PU em 13%
    • Uma casa de baixo padrão de acabamento vale 25% menos
    • Uma casa de médio padrão de acabamento vale 21% menos
    • Cada 1% de aumento na idade da residência diminui PU em 0,12%
    • Cada 1% de aumento na área construída aumenta PU em 0,82%
    • Cada 1% de aumento na área do lote diminui PU em 0,87%

Centralização de Dados

Centralização de Dados

library(collapse)
fmode(homePrices$Lot)
[1] 22003
fmode(homePrices$SqFeet)
[1] 1592
fmode(homePrices$Baths)
[1] 3
  • Suponhamos então uma casa paradigma com as seguintes características:
  • Lot: 22.000
  • SqFeet: 1.600
  • Age: 0
  • Quality: Primeira
  • Pool: 0
  • Style: 1
  • Baths: 3

Centralização dos Dados

fitCenter <- lm(log(PU) ~ log(Lot/22000) + log(SqFeet/1600) + log1p(Age) + Quality + 
                  Pool + I(Style-1) + I(Baths-3), 
         data = homePrices, subset = -c(11, 24, 86, 104, 202, 513))
S(fitCenter)
Call: lm(formula = log(PU) ~ log(Lot/22000) + log(SqFeet/1600) + log1p(Age) +
         Quality + Pool + I(Style - 1) + I(Baths - 3), data = homePrices, subset =
         -c(11, 24, 86, 104, 202, 513))

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)       2.854267   0.043870  65.062  < 2e-16 ***
log(Lot/22000)   -0.873500   0.018130 -48.180  < 2e-16 ***
log(SqFeet/1600)  0.816476   0.047664  17.130  < 2e-16 ***
log1p(Age)       -0.121883   0.012511  -9.742  < 2e-16 ***
QualitySegunda   -0.233921   0.027732  -8.435 3.48e-16 ***
QualityTerceira  -0.288248   0.038072  -7.571 1.77e-13 ***
Pool              0.115856   0.028669   4.041 6.15e-05 ***
I(Style - 1)     -0.016376   0.003633  -4.507 8.17e-06 ***
I(Baths - 3)      0.049265   0.011408   4.318 1.89e-05 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard deviation: 0.1568 on 506 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9015
F-statistic: 579.1 on 8 and 506 DF,  p-value: < 2.2e-16 
    AIC     BIC 
-436.04 -393.60
  • Todos os coeficientes são idênticos, exceto pelo intercepto, que agora vale:
    • \(\exp(2,85) = \overline{PU}_{Hom} =\) 17,36 US$/sqft

Derivação de Fatores

Derivação de Fatores

  • Com o modelo centralizado, fica mais fácil inferir fatores de homogeneização e utilizá-los:
    • Por exemplo:
      • Fator Área do Lote (\(S\)): \(F_S = \left(\frac{S}{22.000}\right)^{-0,87}\)
  • Demonstração:
p <- predict(fitCenter,
  newdata = list(Lot = 22000, SqFeet = 1600, Age = 0, 
             Quality = "Primeira", Pool = 0, 
             Style = 1, Baths = 3))
exp(p)
       1 
17.36171 
p1 <- predict(fitCenter,
  newdata = list(Lot = 24200, SqFeet = 1600, Age = 0, 
             Quality = "Primeira", Pool = 0, Style = 1, 
             Baths = 3))
exp(p1)
       1 
15.97482

Derivação de Fatores

  • Para avaliar, fazemos:
    • \[PU_{aval} = \overline{PU}_{Hom}\cdot F_1 \cdot F_2 \ldots F_k\]
  • Utilizando fatores, a predição do exemplo anterior, para um lote com 24.200 \(m^2\), fica::
    • \(F_S = \left(\frac{S}{22.000}\right)^{-0,87} = \left(\frac{24.200}{22.000}\right)^{0,87} = 1,1^{-0,87} = 0,92\)
    • \(PU_{aval} = \overline{PU}_{Hom}\cdot F_S = 17,36\cdot 0,92 = 15,97\text{ US\$/sqft}\)
  • As avaliações realizadas com fatores fundamentados são “exatas” em todo o domínio de validade do modelo!

Homogeneização

Homogeneização

  • Para homogeneizar faremos:
    • \[PU_{Hom_i} = \frac{PU_{Obs}}{F_1 \cdot F_2 \ldots F_k}\]
  • A ideia é:
    • Ao observar um dado constatamos que seu \(PU_i = 16,25\text{ US\$/sqft}\)
    • Este lote possui as mesmas características de um lote padrão, exceto pela sua área, que é 10% maior (24.200 sqft)
    • Qual seria o preço observado desde dado amostral se ele tivesse a mesma área do lote padrão?
      • \[PU_{Hom} = \frac{16,25}{\left (\frac{22.400}{22.000} \right )^{-0,87}} = \frac{16,25}{0,94} = 17,28\text{ US\$/sqft}\]

Por que homoegeneizar a amostra?

  • Se já temos ajustado um modelo de regressão com o qual conseguimos prever valores dentro ou fora da amostra
    • Por que homoegeneizar os dados amostrais?
  • A resposta é que, com todos a amostra homogeneizada para as mesmas características, se esta amostra conta com coordenadas geográficas, então o que temos é uma variável regionalizada
    • Não podíamos comparar os \(PU_i\) dos imóveis entre si diretamente, pois estes \(PU_i\) se referiam à imóveis com diferentes características
      • Seria equivalente a coletar o preço do kilo da laranja em um mercado, da banana em outro, do abacaxi em um terceiro, e depois tratar esses preços espacialmente, como se eles se referissem à mesma coisa
    • Porém, como conseguimos homogeneizar os dados em relação a um conjunto único de características (as características de um imóvel paradigma), então podemos trabalhá-los espacialmente

Problema

  • Só restou um problema:
    • Esta homogeneização que fizemos é válida?
      • Os nossos coeficientes foram estimados apropriadamente?
  • Todo o processo de homogeneização deve ser realizado com tratamento científico
    • Os fatores utilizados devem ser derivados de maneira racional, através de um modelo RLM
    • No entanto, não consideramos quaisquer variáveis de localização no modelo
    • Se os dados forem dependentes espacialmente, os nossos coeficientes poderão estar viesados
      • Nossos fatores podem estar errados
  • É preciso considerar a verificação da dependência espacial, muito comum no mercado imobiliário

Referências