Avaliação em Massa

Regressão Espacial

Luiz Droubi

Academia da Engenharia de Avaliações

29 de julho de 2025

Modelos Espaciais

Introdução

  • Até agora trabalhamos com a hipótese que:
    • \[\mathbf{y} = \pmb{X\beta} + \pmb{\epsilon};\; \pmb{\epsilon} \overset{\underset{\mathrm{i.i.d.}}{}}{\sim} \mathcal N(0, \sigma^2\mathbf I)\]
  • Se os dados são distribuídos espacialmente, pode haver dependência espacial
    • e.g.: \(\pmb{\epsilon} \neq \mathcal N(0, \sigma^2\mathbf I)\)
    • ou: \(\mathbf{y} \neq \pmb{X\beta}\)

Modelos Espaciais

  • Existem diversos tipos de modelos espaciais, de maior ou menor complexidade
    • Um dos muitos famosos é o modelo espacial do erro (Spatial Error Model - SEM):
      • \[\mathbf y = \pmb{X\beta} + \mathbf{u}; \; \mathbf u = \pmb{\lambda W u} + \pmb{\epsilon} \qquad(1)\]
    • Outro muito conhecido é o modelo da defasagem espacial (Spatial AutoRegressive Model - SAR):
      • \[\mathbf y = \pmb{\rho W y} + \pmb{X\beta} + \pmb{\epsilon} \qquad(2)\]
    • Existem também outros, como o de defasagem nas características (Spatially Lagged X - SLX)
      • \[\mathbf y = \pmb{W X \theta} + \pmb{X\beta} + \pmb{\epsilon} \qquad(3)\]

Modelo Espacial mais geral

  • Todos os modelos podem ser derivados do Modelo de Manski:

    • \[\mathbf y = \pmb{\rho W y} + \pmb{W X \theta} + \pmb{X\beta} + \mathbf u; \; \mathbf u = \pmb{\lambda W u + \epsilon} \qquad(4)\]

  • Se \(\theta = 0; \rho = 0 \rightarrow \mathbf{SEM}\)

  • Se \(\lambda = 0; \rho = 0 \rightarrow \mathbf{SLX}\)

  • Se \(\lambda = 0; \theta = 0 \rightarrow \mathbf{SAR}\)

  • O Modelo Espacial Durbin (Spatial Durbin Model - SDM) é obtido com \(\rho = 0\):

    • \[\mathbf y = \pmb{W X \theta} + \pmb{X\beta} + \mathbf u; \; \mathbf u = \pmb{\lambda W u} + \pmb{\epsilon} \qquad(5)\]

Diferença entre Autocorrelação espacial e endogeneidade

  • Endogeneidade ocorre no SAR
  • Autocorrelação espacial ocorre no SEM

Autocorrelação Espacial

Endogeneidade

-Link

Problemas com a Regressão Espacial

Problemas

  • São muitas possibilidades de modelos e muitas opções em cada um deles (tunning)
    • Qual tipo de modelo utilizar?
    • Como montar a matriz de pesos?

Fluxograma

Fluxograma

Fluxograma (Oliveira, Bandeira, e Távora 2024, 23)

Artigo

Artigo Oliveira, Bandeira, e Távora (2024)

Verificação da dependência espacial

Diagrama de Moran

Diagrama de Moran

Teste I de Moran

  • Teste de autocorrelação dos resíduos análogo ao teste de Durbin-Watson, porém em versão bidimensional:
    • \[I = \frac{e'We}{e'e}\]
    • Onde:
      • \(\mathbf e = \mathbf y − \pmb{\beta X}\);
      • \(\pmb{\hat \beta} = \mathbf{(X'X)^{-1}X'y}\) e;
      • \(\mathbf W\) é a matriz de pesos espaciais.
  • A estatística em pauta depende da escolha da matriz W

Teste do multiplicador de Lagrange

  • Embora o teste de Moran tenha a interessante característica de ter um alto poder contra uma ampla gama de alternativas (ANSELIN apud SARMIENTO-BARBIERI (2016))
    • o teste não dá parâmetros para a escolha de modelos alternativos.
  • Por outro lado, o teste do multiplicador de Lagrange especifica as hipóteses alternativas de autocorrelação espacial da variável dependente e da autocorrelação espacial dos resíduos, o que pode ser útil nestes casos.

Exemplo

Dados

dados <- readRDS("./data/zilli_2020.rds")
rownames(dados) <- paste('Id', 1:nrow(dados))
head(dados)
Simple feature collection with 6 features and 17 fields
Geometry type: POINT
Dimension:     XY
Bounding box:  xmin: 741383 ymin: 6945636 xmax: 742745 ymax: 6946217
Projected CRS: SIRGAS 2000 / UTM zone 22S
# A tibble: 6 × 18
      PT    PU    AP  DPXV  DSBM  DSIG  DCTC  DABM    ND    NB    NS    NG MO   
   <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <fct>
1 9.20e5  9485    97  1642   876  6763  7022   367     3     3     1     1 MO   
2 7.00e5  9589    73  2033  1266  6916  7175   807     2     3     2     2 N    
3 7.5 e5  6250   120  1122  1324  7211  7470   803     2     4     2     2 N    
4 1.15e6  9426   122  1612  1064  6952  7211   136     3     3     1     1 SM   
5 7.00e5  6364   110  1532   936  6824  7083   116     3     2     1     1 MO   
6 6.30e5  7500    84  2376  1668  7543  7802   143     2     2     0     1 N    
# ℹ 5 more variables: PSN <fct>, CH <fct>, PC <fct>, BRO <fct>,
#   geometry <POINT [m]>

Modelo

fit <- lm(log(PU) ~ log(AP) + log(DABM) + PC + NG + ND + NB, data = dados)
summary(fit)

Call:
lm(formula = log(PU) ~ log(AP) + log(DABM) + PC + NG + ND + NB, 
    data = dados)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.44286 -0.12126 -0.01102  0.11762  0.47236 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 10.68088    0.25580  41.755  < 2e-16 ***
log(AP)     -0.41057    0.05632  -7.289 5.73e-12 ***
log(DABM)   -0.11244    0.01485  -7.571 1.05e-12 ***
PCM          0.24001    0.03144   7.635 7.12e-13 ***
PCA          0.42688    0.03397  12.566  < 2e-16 ***
NG           0.18961    0.02159   8.784 4.83e-16 ***
ND           0.06536    0.02256   2.896  0.00416 ** 
NB           0.05146    0.01712   3.006  0.00296 ** 
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.1663 on 217 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7547,    Adjusted R-squared:  0.7467 
F-statistic: 95.35 on 7 and 217 DF,  p-value: < 2.2e-16

Dependência espacial

Diagrama de Moran

library(spdep)
## Criação da Matriz de Pesos Espaciais (W):
# nb <- dnearneigh(st_coordinates(dados), d1= 500, d2 = 1000)
knn <- knearneigh(st_coordinates(dados), k = 20)
nb <- knn2nb(knn)
W <- nb2listw(nb)
moran.plot(residuals(fit), W)

Teste de Moran

library(sf)
lm.morantest(model = fit, listw = W, alternative = "two.sided")

    Global Moran I for regression residuals

data:  
model: lm(formula = log(PU) ~ log(AP) + log(DABM) + PC + NG + ND + NB,
data = dados)
weights: W

Moran I statistic standard deviate = 6.7898, p-value = 1.123e-11
alternative hypothesis: two.sided
sample estimates:
Observed Moran I      Expectation         Variance 
    0.1127075710    -0.0091985602     0.0003223618

Escore de Rao (Multiplicador de Lagrange)

  • Modelo Espacial do Erro:
lm.RStests(fit, W, test = "RSerr")

    Rao's score (a.k.a Lagrange multiplier) diagnostics for spatial
    dependence

data:  
model: lm(formula = log(PU) ~ log(AP) + log(DABM) + PC + NG + ND + NB,
data = dados)
test weights: W

RSerr = 31.007, df = 1, p-value = 2.571e-08
  • Modelo da Defasagem Espacial:
lm.RStests(fit, W, test = "RSlag")

    Rao's score (a.k.a Lagrange multiplier) diagnostics for spatial
    dependence

data:  
model: lm(formula = log(PU) ~ log(AP) + log(DABM) + PC + NG + ND + NB,
data = dados)
test weights: W

RSlag = 6.3396, df = 1, p-value = 0.01181

Escore de Rao (Multiplicador de Lagrange)

  • Modelo Espacial do Erro:
lm.RStests(fit, W, test = "adjRSerr")

    Rao's score (a.k.a Lagrange multiplier) diagnostics for spatial
    dependence

data:  
model: lm(formula = log(PU) ~ log(AP) + log(DABM) + PC + NG + ND + NB,
data = dados)
test weights: W

adjRSerr = 24.847, df = 1, p-value = 6.207e-07
  • Modelo da Defasagem Espacial:
lm.RStests(fit, W, test = "adjRSlag")

    Rao's score (a.k.a Lagrange multiplier) diagnostics for spatial
    dependence

data:  
model: lm(formula = log(PU) ~ log(AP) + log(DABM) + PC + NG + ND + NB,
data = dados)
test weights: W

adjRSlag = 0.17934, df = 1, p-value = 0.6719
  • Modelo Espacial do Erro!

Ajuste do modelo

  • Incluindo uma variável que agrupa os dados por bairro:
fit1 <- update(fit, .~. + BRO)
summary(fit1)

Call:
lm(formula = log(PU) ~ log(AP) + log(DABM) + PC + NG + ND + NB + 
    BRO, data = dados)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.40933 -0.11117 -0.00731  0.10973  0.40254 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   10.72397    0.24735  43.355  < 2e-16 ***
log(AP)       -0.41843    0.05305  -7.888 1.54e-13 ***
log(DABM)     -0.10199    0.01748  -5.835 1.96e-08 ***
PCM            0.23727    0.02962   8.011 7.12e-14 ***
PCA            0.43453    0.03212  13.529  < 2e-16 ***
NG             0.19379    0.02033   9.530  < 2e-16 ***
ND             0.06640    0.02124   3.126 0.002019 ** 
NB             0.04251    0.01623   2.619 0.009440 ** 
BROAgronomica -0.10388    0.03004  -3.459 0.000655 ***
BROTrindade   -0.12706    0.02896  -4.387 1.80e-05 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.1565 on 215 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7846,    Adjusted R-squared:  0.7756 
F-statistic: 87.04 on 9 and 215 DF,  p-value: < 2.2e-16

Diagrama de Moran

moran.plot(residuals(fit1), W)

Teste de Moran

lm.morantest(model = fit1, listw = W, alternative = "two.sided")

    Global Moran I for regression residuals

data:  
model: lm(formula = log(PU) ~ log(AP) + log(DABM) + PC + NG + ND + NB +
BRO, data = dados)
weights: W

Moran I statistic standard deviate = 0.94228, p-value = 0.346
alternative hypothesis: two.sided
sample estimates:
Observed Moran I      Expectation         Variance 
   -0.0011730484    -0.0164227367     0.0002619137

Escore de Rao (Multiplicador de Lagrange)

  • Modelo Espacial do Erro:
lm.RStests(fit1, W, test = "RSerr")

    Rao's score (a.k.a Lagrange multiplier) diagnostics for spatial
    dependence

data:  
model: lm(formula = log(PU) ~ log(AP) + log(DABM) + PC + NG + ND + NB +
BRO, data = dados)
test weights: W

RSerr = 0.0033588, df = 1, p-value = 0.9538
  • Modelo da Defasagem Espacial:
lm.RStests(fit1, W, test = "RSlag")

    Rao's score (a.k.a Lagrange multiplier) diagnostics for spatial
    dependence

data:  
model: lm(formula = log(PU) ~ log(AP) + log(DABM) + PC + NG + ND + NB +
BRO, data = dados)
test weights: W

RSlag = 1.6032, df = 1, p-value = 0.2055

Ajuste

Modelo Espacial do Erro

library(spatialreg)
SEM <- errorsarlm(log(PU) ~ log(AP) + log(DABM) + PC + NG + ND + NB,
                  data = dados, W)
moran.plot(residuals(SEM), W)

Comparação de Coeficientes

Tabela 1: Coeficientes do Modelo MQO.
term estimate std.error statistic p.value
(Intercept) 10,681 0,256 41,755 0,000
log(AP) -0,411 0,056 -7,289 0,000
log(DABM) -0,112 0,015 -7,571 0,000
PCM 0,240 0,031 7,635 0,000
PCA 0,427 0,034 12,566 0,000
NG 0,190 0,022 8,784 0,000
ND 0,065 0,023 2,896 0,004
NB 0,051 0,017 3,006 0,003
Tabela 2: Coeficientes do Modelo Espacial do Erro.
term estimate std.error statistic p.value
(Intercept) 10,884 0,269 40,481 0,000
log(AP) -0,445 0,053 -8,363 0,000
log(DABM) -0,120 0,022 -5,427 0,000
PCM 0,240 0,029 8,220 0,000
PCA 0,436 0,031 13,954 0,000
NG 0,205 0,020 10,033 0,000
ND 0,064 0,021 3,038 0,002
NB 0,040 0,016 2,504 0,012
lambda 0,562 0,119 4,726 0,000
  • Reparem como:
    • Os coeficientes diferem, ainda que não muito
    • Os erros-padrões dos coeficientes são, em geral, menores no modelo espacial

Conclusão

  • A Regressão Espacial é um tema rico, cheio de possibilidades
  • Porém, há casos em que ela pode ser até dispensada
  • A dependência espacial pode ser tratada simplesmente agrupando em diversos grupos os dados heterogêneos!

Referências

Oliveira, Antônio Augusto Ferreira de, Sandro Ricardo Vasconcelos Bandeira, e Victor Jucá Távora. 2024. «Mass appraisal of urban land with homogenization factors: a spatial models-based approach». Revista Valorem 1 (1): 16–32. https://revistavalorem.com/index.php/home/article/view/23.
SARMIENTO-BARBIERI, Ignacio. 2016. An Introduction to Spatial Econometrics in R. Illinois: University of Illinois. http://www.econ.uiuc.edu/~lab/workshop/Spatial_in_R.html.
Zilli, Carlos Augusto. 2020. «Regressão geograficamente ponderada aplicada na avaliação em massa de imóveis urbanos.» Dissertação de mestrado. Florianópolis, SC: Universidade Federal de Santa Catarina.